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By Helga Baum

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Nach einem Kapitel über Lie-Gruppen und homogene Räume werden lokal-triviale Faserungen, insbesondere die Hauptfaserbündel und zu ihnen assoziierte Vektorbündel, besprochen. Es folgen die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung auf Faserbündeln: Zusammenhang, Krümmung, Parallelverschiebung und kovariante Ableitung. Anschließend werden die Holonomiegruppen vorgestellt, die zentrale Bedeutung in der Differentialgeometrie haben. Als Anwendungen werden charakteristische Klassen und die Yang-Mills-Gleichung behandelt. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungshinweisen helfen, das Gelernte zu vertiefen.

Das Buch richtet sich vor allem an Studenten der Mathematik und Physik im Masterstudium. Es stellt mathematische Grundlagen bereit, die in Vorlesungen zur Eichfeldtheorie in der theoretischen und mathematischen Physik Anwendung finden.

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Fourier-Mukai and Nahm Transforms in Geometry and Mathematical Physics

Crucial transforms, equivalent to the Laplace and Fourier transforms, were significant instruments in arithmetic for no less than centuries. within the final 3 a long time the improvement of a few novel rules in algebraic geometry, class conception, gauge conception, and string thought has been heavily relating to generalizations of vital transforms of a extra geometric personality.

Riemannsche Geometrie im Großen

Aus dem Vorwort: "Globale Probleme der Differentialgeometrie erfreuen sich eines immer noch wachsenden Interesses. Gerade in der Riemannschen Geometrie hat die Frage nach Beziehungen zwischen Riemannscher und topologischer Struktur in neuerer Zeit zu vielen sch? nen und ? berraschenden Einsichten gef?

Geometric analysis and function spaces

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26 wissen wir, dass X(x · g) = dϕx (X(g)) = dϕx (˙g (0)). 14) bewiesen. 1. Eine Gruppe G, die zusätzlich mit einer Topologie versehen ist, heißt topologische Gruppe, wenn die Abbildung G × G −→ G (g, a) −→ g · a−1 stetig ist. Sei G eine zusammenhängende topologische Gruppe und U eine beliebige Umgebung des neutralen Elementes von G. Zeigen Sie, dass die Menge U die Gruppe G erzeugt. 2. Zeigen Sie, dass es genau zwei 2-dimensionale, zueinander nicht isomorphe reelle Lie-Algebren gibt. Geben Sie in beiden Fällen eine Lie-Gruppe mit der entsprechenden Lie-Algebra an.

Eine Metrik h auf einer Lie-Gruppe G heißt linksinvariant (bzw. rechtsinvariant), wenn Lg∗ h = h (bzw. Rg∗ h = h ) für alle g ∈ G gilt. Ist h sowohl links- als auch rechtsinvariant, so nennt man h biinvariant. Aus jedem Skalarprodukt ⇐·, ·⇒ auf g erhält man eine linksinvariante Metrik h⇐·,·⇒ durch h⇐·,·⇒ (X, Y ) := ⇐μG (X), μG (Y )⇒, X, Y Vektorfelder auf G, oder mit anderen Worten durch (h⇐·,·⇒ )g (v, w) := ⇐dLg −1 v, dLg −1 w⇒, g ∈ G, v, w ∈ Tg G. Andererseits ist für eine linksinvariante Metrik h auf G die Bilinearform he : Te G × Te G → R ein Skalarprodukt auf g Te G.

Also liegt mit zwei Elementen a, h ∈ H auch a−1 h ∈ H, H ist demnach eine Untergruppe von G. Da H eine Untermannigfaltigkeit von G ist, ist die Inklusion ι : H → G ein regulärer Gruppenhomomorphismus. Es bleibt zu zeigen, dass H selbst eine Lie-Gruppe ist, d. , dass die Gruppenmultiplikation μ : (a, h) ∈ H × H −→ a−1 h ∈ H glatt ist. Sei μ : G × G −→ G die entsprechende Gruppenmultiplikation in G. μ ist glatt, da G eine Lie-Gruppe ist, außerdem kommutiert folgendes Diagramm: μ /H H × HF FF FF ι F μ FFF #  G Die Glattheit von μ folgt dann aus dem zweiten Teil des Satzes von Frobenius.

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