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By Rüdiger Seydel

In jüngster Zeit haben Finanz-Derivate eine starke Verbreitung erfahren. Das vorliegende Lehrbuch bietet eine elementare Einführung in diejenigen Methoden der Numerik und des Wissenschaftichen Rechnens, die insbesondere für die Berechung von Optionspreisen grundlegend sind. Nach einer kurzen Beschreibung der Modellierung von Standard-Optionen folgt als erster Hauptteil die numerische Simulation der Stochastik mit der Berechnung von Zufallszahlen, der Integration von stochastischen Differentialgleichungen und dem Einsatz von Monte-Carlo-Verfahren. Der zweite Hauptteil konzentriert sich auf die Numerik zu den Black-Scholes Ansätzen mit partiellen Differential-Gleichungen und -Ungleichungen. Dabei werden Lösungsalgorithmen von Differenzenverfahren und von Finite-Element-Verfahren erklärt. Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge runden das Buch ab. Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben werden unter http://www.mi.uni-koeln.de/numerik/compfin/ bereitgestellt.

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lor on a subset of the boundary 8(9 1 < i < v, where P is a linear differential operator in (9 and the place the Q/s are linear differen tial operators on 8(f). In Volumes 1 and a pair of, we studied, for specific sessions of structures {P, Qj}, challenge (1), (2) in sessions of Sobolev areas (in common built starting from L2) of optimistic integer or (by interpolation) non-integer order; then, by means of transposition, in sessions of Sobolev areas of unfavorable order, till, via passage to the restrict at the order, we reached the areas of distributions of finite order. In this quantity, we learn the analogous difficulties in areas of infinitely differentiable or analytic features or of Gevrey-type features and by way of duality, in areas of distributions, of analytic functionals or of Gevrey- type ultra-distributions. during this demeanour, we receive a transparent imaginative and prescient (at least we wish so) of many of the attainable formulations of the boundary price problems (1), (2) for the platforms {P, Qj} thought of right here.

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Example text

Der Anleger erhofft JL > r als Ausgleich fUr das im Vergleich zu festverzinslichen Anlagen hOherc Risiko von Aktien. Mean Reversion Eine konstante Zinsrate r ist ebenso wie eine konstante Volatilitat (J" eine drastische Annahme. Dewegen hat man SDEs konstruiert, welche r oder (J" stochastisch regcln. Ein Beispiel ist dr = a(R(t) - r)dt + (J"dW. 17) Mit dieser SDE wird r mit der Rate a gegen die mean reversion R(t) "gezogen ". 16). Koppelung der SDE fUr r mit der SDE fUr S ergibt ein System von 2 SDEs.

1:j, tj)ilW ilW = rv Hierbei ist die Schrittlange ilt im einfachsten Fall aquidistant, also ilt = T /m fUr ein geeignetes m. Naturlich hiingt die Genauigkeit der Naherung von ilt ab (--+ Kapitel 3). 10 heiBt auch Algorithmus von EulerMaruyama. 3). Lasungen der SDE oder ihrer diskretisierten Form bei einer konkreten Realisierung des Wiener-Prozesses heiBen Tmjektorie oder Pfad. Unter einer Simulation der SDE versteht man die Berechnung von einer oder von mehreren Trajektorien. 0 5t die exakte Lasung.

Alle diese Folgen sind von niedriger Diskrepanz, mit D* C (log N)m 0 ((lOg N)m-I ) N~ m N + N . Die Folge von Faure hat die kleinste Konstante Cm. 1 zeigt, wie schnell diese Terme gegen 0 gehen. Fiir groBe m werden die Werte erst fiir ext rem groBe Werte von N klein. Man nimmt aber an, dass diese Schranken unrealistisch groB sind und den wirklichen Fehler stark iiberschiitzen. 9), verwenden fUr die Xi aber Zahlenfolgen niedriger Diskrepanz. Die praktischen Erfahrungen mit den Punktfolgen niedriger Diskrepanz sind noch besser, als es die bisher bekannten theoretischen Schranken vermuten lassen.

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