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By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce foremost quantity du Livre consacré aux Théorie spectrales, dernier Livre du traité, comprend les chapitres: -1. Algèbres normée; -2. Groupes localement compacts commutatifs.

Le most appropriate chapitre introduit des innovations de base en examine fonctionnelle. Le deuxième chapitre a pour aboutissement l. a. transformation de Fourier sur les groupes localement compacts commutatifs.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1967.

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Derivatives of Inner Functions

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Example text

B,,, E A avec la propriété suivante : si L désigne l'enveloppe polynomialement convexe de 0 0 Sp(b, , . . , h,,,) c CP+q, et si TC désigne la projection canonique de CP+Y sur CP, on a n(L) c R (lemme 10). Soient f ; , . . ,fp des fonctions holomorphes dans un voisinage ouvert U de Sp a, telles que ( f', ' . . )(u) (-2Alors g n est holomorphe dans n-'(R), qui est un voisinage de L. Soit TC'la projection canonique de C"+q sur Ci'. En désignant par z,,+ , . . ,. ' fPo4 = h XI. Cette formule, et la première partie de la démonstration, entraînent en posant c = ( a , , .

Remarque. - Soit a E A". Si A est sans radical, l'application q de O(Sp a) dans A telle que x(q(f )) = f (x(ai),. . , ~ ( a , ) pour ) tout x E X(A). f f (a) de O(Sp a) dans A est l'unique application COROLLAIRE 2. - Si f E O(Sp a), on a sp(f(a)) = f ( ~ a). p Ceci résulte du cor. 1 et de la définition du spectre simultané. +CO Exemple. - Soit a(t) = C uneintla "4 Fourier absolument convergente somme d'une série de ( 3 2, no 2). Soit S l'ensemble des no5 CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE 43 valeurs de a.

VIII, C) 5, no 5). Soit B une mesure de Haar à gauche sur G . On munit L 1 ( G ,p) du produit ( f i g) Hf * B g et de l'involution ,f f * = fl A - ', où A est le module de G et où , f ( x ) = f ( x - l ) pour tout x E G. Alors l'application f ++ f . /3 est un isomorphisme de I'algèbre involutive L1(G,B) sur A. Cet isomorphisme est isométrique. - - Soit A une algèbre involutive. Un x E A est dit hermitien si x = x*, normal si xx* = x*x. , chap. ) Tout élément hermitien est normal. L'ensemble des éléments hermitiens est un sous-espace vectoriel réel de A.

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