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By Ivar Stakgold

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F¨ ur eine pr¨ akompakte Menge K ⊆ M gibt es b1 , . . , br ∈ K mit K⊆ r Uδ (bj ) . F¨ ur j = 1, . . , r w¨ ahlt man aj ∈ A mit d(aj , bj ) < δ . Da (gn (aj )) j=1 konvergiert, gibt es n0 ∈ N mit d(gn (aj ), gm (aj )) < ε f¨ ur n, m ≥ n0 und j = 1, . . , r . b) Es seien nun n, m ≥ n0 und t ∈ K . Man w¨ ahlt j ∈ {1, . . , r} mit d(t, aj ) < 2δ und erh¨ alt d(gn (t), gm (t)) ≤ d(gn (t), gn (aj )) + d(gn (aj ), gm (aj )) + d(gm (aj ), gm (t)) < 3ε . ur n, m ≥ n0 , und wegen der Vollst¨ andigkeit Somit gilt sup d(gn (t), gm (t)) ≤ 3ε f¨ t∈K von N ist die Folge (gn ) auf K gleichm¨ aßig konvergent (vgl.

6 ist also auch Lp (Ω) separabel. Es gibt auch interessante Banachr¨ aume, die nicht separabel sind: Beispiel. Der Folgenraum u ahlbare Menge ¨berabz¨ ∞ ist nicht separabel. In der Tat enth¨ alt E := { = ( j )∞ j=0 | j = ±1 f¨ ur j ∈ N0 } . ∞ die 2 Kompakte Mengen 35 Man hat − = 2 f¨ ur , ∈ E mit = . Nun sei A eine dichte Menge in ∞ . − a < 1 . Dann gilt a = a f¨ ur , ∈ E mit Zu ∈ E w¨ ahlt man a ∈ A mit ahlbar sein. = , und daher kann A nicht abz¨ a a Abb. 11). 3 p f¨ ur 1 ≤ p < ∞ separabel (s.

B) F¨ ur das Z¨ ahlmaß μ auf N0 ist N (N0 , μ) = {0} , und somit ist p eine Norm auf andig, also ein Banachraum (s. 9). dem Folgenraum p . Dieser ist vollst¨ ¨ Halbnormen und Aquivalenzklassen. a) Halbnormen spielen eine große Rolle in der Funktionalanalysis. Wichtige Funktionenr¨ aume k¨ onnen nicht durch eine Norm, wohl aber durch unendlich viele Halbnormen beschrieben werden; f¨ ur die Untersuchung solcher lokalkonvexer R¨ aume verweisen wir auf [Meise und Vogt 1992]. b) Zu einem halbnormierten Raum (E, ¨ Aquivalenzklassen assoziieren: Der Kern ) kann man einen normierten Raum von N := {x ∈ E | x = 0} (19) 1 Banachr¨ aume 19 der Halbnorm ist offenbar ein Unterraum von E .

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