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Aus dem Vorwort: "Globale Probleme der Differentialgeometrie erfreuen sich eines immer noch wachsenden Interesses. Gerade in der Riemannschen Geometrie hat die Frage nach Beziehungen zwischen Riemannscher und topologischer Struktur in neuerer Zeit zu vielen sch?nen und ?berraschenden Einsichten gef?hrt. Dabei denken wir hier vor allem an den Problemkreis: Welche topologischen Invarianten werden charakterisiert durch eine der wichtigsten isometrischen Invarianten, die Kr?mmung? Ziel der folgenden Noten ist, einige zentrale Resultate in dieser Richtung darzustellen.... Wir haben uns bem?ht, die Darstellung m?glichst elementar und in sich abgeschlossen zu halten und einen einfachen leistungsf?higen Kalk?l zu entwickeln."

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Riemannsche Geometrie im Großen

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7. h. 10. statt assoziierter B~ndelkarten in nat~rlicher Weise B~ndelkarten mit Hilfe der Parallelverschiebung struiert. Im allgemeinen Fall wird oder G L + ( n , ~ ) sein. Wenn ~ ( p ) und TM trivial. h. man hat einen "Holonomiehomomorphismus" : --~(M'P)--~GL(Mp) ~ G L ( n , ~ ) der Fundamentalgruppe von M in p in die allgemeine lineare Gruppe, dessen Bild gerade die Holonomiegruppe ist. Wenn M flach und einfach zusammenh~ugend, ~(p) 1, und M i s t kon- die volle lineare Gruppe G L ( n , ~ ) = I~ so ist also ~ l~ngs st~ckweise differenzierbarer ihrer Homotopieklasse ~(p) parallelisierbar.

2. und bere¢hne linearen Zus~mmenhang die parallelen Felder l~ngs der - Geraden t-~at + b mit a , b ~ & ~ 3 . B. ±st das parallele Feld Y l~ngs der Geraden t--~te 3 mit Y(O) = DII ° gegeben durch Y(t) = c o s ~ D 1 ~ t e 3t - sin~D21t%. Der Vektor Y(O) wird also bei Parallelverschiebung "um die Kurve gedreht". (i±) M differenzierbare Mannigfaltigkeit f: N---~M differenzierbare Abbildung, liebige differenzierbare mit linearem Zusammenhang Y~f, v ~TN. ~7, Sei c: J--,N eine be- Kurve mit ~(t o) = v fur t ~J und Y das eindeutig ~o foc mit Yt = Yoc(t).

Folgere, da5 ~7AI of = f,A f~r ein Vektorfeld A ~ N . 3. - (iv) 50 - Wenn f: N---~M differenzierbare Abbildung, v ~ T N und Y ~ M , gilt ~ f ~ v Y = KY~f~v = K(Yof)@v = Sind also Vektorfelder A ~ N hat man (v) (~xY)of = ~v yof, so da~ und X ~ M f-verwandt, ~f~v Y = dann ~Zv yof. f~A = XOf, so ~7A yof. In der Sprache der VektorraumbtLudel sind differenzierbare Vektor- felder l~ngs f: N--,M differenzierbare Schnitte im durch f aus TM induzierten B~ndel ~ber N, der Erweiterung einer kovarianten Ableitung ~ i n ~M auf ~ f entspricht die Erweiterung eines linearen Zusammenhangs im Tangentialb~ndel auf induzierte B~ndel.

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